What is the ratio of the sum of the even positive integers between 1 and 100 (inclusive) and the sum of the odd positive integers between 100 and 150?
To find the ratio of the sum of the even positive integers between 1 and 100 (inclusive) to the sum of the odd positive integers between 100 and 150, we need to calculate each sum separately.
First, let's find the sum of even positive integers between 1 and 100:
The first even positive integer in this range is 2, and the last one is 100. These numbers form an arithmetic sequence with a common difference of 2. We can use the formula for the sum of an arithmetic series:
Sum = (n/2) * [2a + (n - 1)d]
Where:
- n is the number of terms,
- a is the first term, and
- d is the common difference.
In this case, n = (100 - 2) / 2 + 1 = 50 (since we start from 2 and end at 100), a = 2, and d = 2.
Sum of even positive integers = (50/2) * [2(2) + (50 - 1)(2)] = 25 * [4 + 98] = 25 * 102 = 2550
Now, let's find the sum of odd positive integers between 100 and 150:
The first odd positive integer in this range is 101, and the last one is 149. Again, these numbers form an arithmetic sequence with a common difference of 2.
n = (149 - 101) / 2 + 1 = 25 (since we start from 101 and end at 149) a = 101 d = 2
Sum of odd positive integers = (25/2) * [2(101) + (25 - 1)(2)] = 12.5 * [202 + 48] = 12.5 * 250 = 3125
Now, let's find the ratio:
Ratio = (Sum of even positive integers) / (Sum of odd positive integers) = 2550 / 3125 = 102/125
So, the correct answer is 102/125.
অনুপাত –সমানুপাত (Ratio & Proportion)
অনুপাত (Ratio): দুইটি একজাতীয় রাশির একটি অপরটির তুলনার কতগুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশে আকারে প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশটিকে রাশি দুইটির অনুপাত বলা হয়।
(When two category are compared to ascertain how many times teh first contains the othre, this kind of comparison is known as ratio between the two quantities)
অনুপাত একটি ভগ্নাংশ। এর কোন একক নেই। অনুপাত গাণিতিক চিহ্নটি হল ‘ঃ’ ।
যেমন : ৫ টাকা ও ৪ টাকার অনুপাত ৫৪ । একে ৫ঃ৪ আকারেও লেখা হয়।
সুতরাং ৫৪ =৫ঃ৪
৫ঃ৪ কে পড়া হয় ৫ অনুপাত ৪। (5:4 is read as 5 is to 4)
সরল অনুপাত (Simple ratio) : অনুপাতে দুইটি রাশি থাকলে তাকে সরল অনুপাত বলে। সরল অনুপাতের প্রথম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং দ্বিতীয় রাশিকে উত্তর রাশি বলা হয়। যেমন: ৫ঃ৪ এ পূর্বরাশি ৫ এবং উত্তর রাশি ৪।
লঘু অনুপাত (Ratio of less inequality): পূর্ব রাশি উত্তর রাশির চেয়ে ছোট হলে, তাকে লঘু অনুপাত বলে। যেমন -২:৫ ।
গুরু অনুপাত (Ratio of greater inequality): পূর্ব রাশি উত্তর রাশির চেয়ে বড় হলে, তাকে গুরু অনুপাত বলে। যেমন-৫ঃ২।
একানুপাত (Unit ratio): পূর্ব রাশি উত্তর পরস্পর সমান হলে, তাকে একানুপাত বলে। যেমন ২ঃ২।
অনুপাত সম্পর্কিত সাধারণ নিয়ম:
ক) কোন অনুপাতের পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশিকে ০ বাদে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে প্রদত্ত অনুপাতের মানের পরিবর্তন হয়না। যেমন:,
৬ঃ৭ =(৬×১০)ঃ(৭×১০)=৬০ঃ৭০
৬০ঃ৭০=(৬০÷১০)ঃ(৭০÷১০)=৬ঃ৭
খ) ভগ্নাংশের মতই অনুপাতকে লঘিষ্ঠ আকারে পরিণত করা যায়। যেমন, ৬০ঃ৭০ =৬ঃ৭ [পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশিকে ১০ দ্বারা ভাগ করে।]
বিভিন্ন প্রকার অনুপাত:
ক) ব্যস্ত অনুপাত (Inverse ratio) : সরল অনুপাতের উত্তর রাশিকে পূর্ব রাশি এবং পূর্ব রাশিকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে সরল অনুপাতটির ব্যস্ত অনুপাত বলা হয়। যেমন, ৩ঃ৪ এর ব্যস্ত অনুপাত ৪ঃ৩।
খ) মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত (Mixed or compound ratio): একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে যে অনুপাত হয়, উহাকে মিশ্র অনুপাত বলা হয়। যেমন: ৫ঃ৬ , ৩ঃ৪ , ২ঃ৩ তিনটি সরল অনুপাত। উহাদের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল ৩০ এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফল ৭২। সুতরাং প্রদত্ত অনুপাত তিনটির মিশ্র অনুপাত ৩০:৭২ ।
গ) দ্বিগুণানুপাত (Duplicate ratio): কোন সরল অনুপাতের পূর্ব রাশির বর্গকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশির বর্গকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতের দ্বিগুণানুপাতিক বলা হয় যেমন , ৩ঃ২ এর দ্বিগুণানুপাত ৩২ঃ২২ =৯ঃ৪।
দ্বিভাজিত অনুপাত (Sub-duplicate ratio): কোন সরল অনুপাতের পূর্ব রাশির বর্গমূলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশির বর্গমূলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে প্রদত্ত অনুপাতের দ্বিভাজিত অনুপাত বলা হয়। যেমন , ১৬ঃ৯ এর দ্বিভাজিত অনুপাত √১৬ঃ√৯=৪ঃ৩।
ধারাবাহিক অনুপাত (Successive ratio): দুইটি অনুপাত কঃখ এবং খঃগ হলে, তাদের সাধারণত ক:খ:গ আকারে লেখা যায়। একে ধারাবাহিক অনুপাত বলা হয়।
সমানুপাত (Proportion) : ৪টি রাশির প্রথম ও দ্বিতীয়টি অনুপাত এবং তৃতীয় ও চতুর্থটি অনুপাত পরস্পর সমান হলে , ঐ চারটি রাশি একটি সমানুপাত উৎপন্ন করে। যেমন : ৫টাকা , ১৫ টাকা, ৬ কি.মি. এবং ১৮ কি.মি. রাশি চারটি একটি সমানুপাত তৈরি করে। কেননা, প্রথম দুইটি রাশির অনুপাত ৫১৫=১৩ এবং দ্বিতীয় দুইটি রাশির অনুপাত ৬১৮=১৩। এই সমানুপাতকে ৫:১৫ =৬:১৮ লিখে প্রকাশ করা হয়। সমানুপাতের চারটি রাশিকে সমানুপাতী বলা হয়।
ক্রমিক সমানুপাত (Continued proportion): তিনটি প্রদত্ত রাশির প্রথম ও দ্বিতীয়টির অনুপাত এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয়টির অনুপাত পরস্পর সমান হলে, সমানুপাতটিকে ক্রমিক সমানুপাত বলে। যেমন: মনে করি, তিনটি রাশি যথাক্রমে ৪ কেজি ও ১৬ কেজি। এ রাশিগুলো দ্বারা দুইটি অনুপাত ৪ঃ৮ এবং ৮ঃ১৬ গঠন করা যায়।
এখানে, ৪ঃ৮ =৮ঃ১৬ । এরকমের সমানুপাতকে ক্রমিক সমানুপাত বলে।
ক্রমিক সমানুপাতের, ১ম রাশি× ৩য় রাশি =(২য় রাশি)২।
ক্রমিক সমানুপাতের দ্বিতীয় রাশিটিকে প্রথম ও তৃতীয় রাশির মধ্য সমানুপাতী বা মধ্য রাশি (Mean propotional / mid term) বলা হয়। ক্রমিক সমানুপাতের তিনটি রাশিই এক জাতীয়।
Related Question
View MorePromotion
Download Our Mobile Apps
